Каноническое уравнение параболы. Парабола — свойства и график квадратичной функции
Определение 1. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.
Составим уравнение параболы с фокусом в данной точке F и директрисой которой является прямая d, не проходящая через F. Выберем прямоугольную систему координат следующим образом: ось Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе d в направлении от d к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 1).
Определение 2. Расстояние от фокуса F до директрисы d называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0).
Из рис. 1 видно, что p = FK, следовательно, фокус имеет координаты F (р/2; 0) , а уравнение директрисы имеет вид х = – р/2, или
Пусть М(х; у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F ипроведем MN d. Непосредственно из рис. 1 видно, что
а по формуле расстояния между двумя точками 
Согласно определению параболы, MF = MN, (1)
следовательно, 
(2)
Уравнение (2) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (2) преобразуем его следующим образом:
т.е.,
Координаты х и у точки М параболы удовлетворяют условию (1), а следовательно, и уравнению (3).
Определение 3. Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.
2. Исследование формы параболы по ее уравнению. Определим форму параболы по ее каноническому уравнению (3).
1) Координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению (3), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.
2) Так как в уравнение (3) переменная у входит только в четной степени, то парабола у 2 = 2рх симметрична относительно оси абсцисс.
3) Так как р > 0 , то из (3) следует х ≥ 0. Следовательно, парабола у 2 = 2рх расположена справа от оси Оу .
4) При возрастании абсциссы х от 0 до +∞ ордината у изменяется от 0 до ± ∞, т.е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Ох , так и от оси Оу .
Парабола у 2 = 2рх имеет форму, изображенную на рис. 2.
Определение 4. Ось Ох называется осью симметрии параболы . Точка О (0; 0) пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы . Отрезок FM называется фокальным радиусом точки М .
Замечание. Для составления уравнения параболы вида у 2 = 2рх мы специальным образом выбрали прямоугольную систему координат (см. п. 1). Если же систему координат выбрать другим образом, то и уравнение параболы будет иметь иной вид.
а
Так, например, если направить ось Ох от фокуса к директрисе (рис. 3, а
у 2 = –2рх. (4)
F(–р/2; 0) , а директриса d задана уравнением х = р/2.
Если ось Оу проведем через фокус F d в направлении от d к F , а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 3, б ), то уравнение параболы пример вид
х 2 = 2ру. (5)
Фокус такой параболы имеет координаты F (0; р/2) , а директриса d задана уравнением у=–р/2.
Если ось Оу проведем через фокус F перпендикулярно к директрисе d в направлении от F к d (рис. 3, в ), то уравнение параболы примет вид
х 2 = –2ру (6)
Координаты ее фокуса будут F (0; –р/2) , а уравнением директрисы d будет у = р/2.
Об уравнения (4), (5), (6) говорят, что они имеют простейший вид.
3. Параллельный перенос параболы. Пусть дана парабола с вершиной в точке О" (а; b) , ось симметрии которой параллельна оси Оу , а ветви направлены вверх (рис. 4). Требуется составить уравнение параболы.
(9)
Определение 5. Уравнение (9) называется уравнением параболы со смещенной вершиной.
Преобразуем это уравнение следующим образом:
Положив 
будем иметь 
(10)
Нетрудно показать, что для любых А, В, С график квадратного трехчлена (10) представляет собой параболу в смысле определения 1. Уравнение параболы вида (10) изучалось в школьном курсе алгебре.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
№1. Составить уравнение окружности:
a. с центром в начале координат и радиусом 7;
b. с центром в точке (-1;4) и радиусом 2.
Построить данные окружности в прямоугольной декартовой системе координат.
№2. Составить каноническое уравнение эллипса с вершинами
и фокусами 
№3. Построить эллипс, заданный каноническим уравнением:
1) 2) 
№4. Составить каноническое уравнение эллипса с вершинами
и фокусами 
№5. Составить каноническое уравнение гиперболы с вершинами
и фокусами
№6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
1. расстояние между фокусами , а между вершинами
2. действительная полуось , а эксцентриситет ;
3. фокусы на оси , действительная ось 12, а мнимая 8.
№7. Построить гиперболу, заданную каноническим уравнением:
1) 2) 
.
№8. Составить каноническое уравнение параболы, если:
1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси и её параметр ;
2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и её параметр .
Построить эти параболы, их фокусы и директрисы.
№9. Определить тип линии, если её уравнение:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Векторы в пространстве.
1.1. Что такое вектор?
1.2. Что такое абсолютная величина вектора?
1.3. Какие виды векторов в пространстве Вы знаете?
1.4. Какие действия можно выполнять с ними?
1.5. Что такое координаты вектора? Как их найти?
2. Действия над векторами, заданными своими координатами.
2.1. Какие действия можно выполнять с векторами, заданными в координатной форме (правила, равенства, примеры); как найти абсолютную величину такого вектора.
2.2. Свойства:
2.2.1 коллинеарных;
2.2.2 перпендикулярных;
2.2.3 компланарных;
2.2.4 равных векторов.
(формулировки, равенства).
3. Уравнение прямой. Прикладные задачи.
3.1. Какие виды уравнения прямой Вы знаете (уметь записывать и интерпретировать по записи);
3.2. Как исследовать на параллельность – перпендикулярность две прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентом или общими уравнениями?
3.3. Как найти расстояние от точки до прямой, между двумя точками?
3.4. Как найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями прямой или уравнениями с угловым коэффициентом?
3.5. Как найти координаты середины отрезка и длину этого отрезка?
4. Уравнение плоскости. Прикладные задачи.
4.1. Какие виды уравнения плоскости Вы знаете (уметь записывать и интерпретировать по записи)?
4.2. Как исследовать на параллельность – перпендикулярность прямые в пространстве?
4.3. Как найти расстояние от точки до плоскости и угол между плоскостям?.
4.4. Как исследовать взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
4.5. Виды уравнения прямой в пространстве: общее, каноническое, параметрическое, проходящей через две данные точки.
4.6. Как найти угол между прямыми и расстояние между точками в пространстве?
5. Линии второго порядка.
5.1. Эллипс: определение, фокусы, вершины, большая и малая оси, фокальные радиусы, эксцентриситет, уравнения директрис, простейшие (или канонические) уравнения эллипса; чертеж.
5.2. Гипербола: определение, фокусы, вершины, действительная и мнимая оси, фокальные радиусы, эксцентриситет, уравнения директрис, простейшие (или канонические) уравнения гиперболы; чертеж.
5.3. Парабола: определение, фокус, директриса, вершина, параметр, ось симметрии, простейшие (или канонические) уравнения параболы; чертеж.
Примечание к 4.1, 4.2, 4.3: Для каждой линии 2го порядка уметь описывать построение.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Даны точки: 
, где N – номер студента по списку.
3) найти расстояние от точки М до плоскости Р.
4. Построить линию второго порядка, заданную своим каноническим уравнением:
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов - Учебник для вузов под ред. Н.Ш. Кремер и др., - Москва, ЮНИТИ, 2003.
2. Барковський В.В., Барковська Н.В. - Вища математика для економістів – Київ, ЦУЛ, 2002.
3. Суворов И.Ф. - Курс высшей математики. - М., Высшая школа, 1967.
4. Тарасов Н.П. - Курс высшей математики для техникумов. - М.; Наука, 1969.
5. Зайцев И.Л. - Элементы высшей математики для техникумов. - М.; Наука, 1965.
6. Валуцэ Н.Н., Дилигул Г.Д. - Математика для техникумов. - М.; Наука, 1990.
7. Шипачев В.С. - Высшая математика. Учебник для вузов – М.: Высшая школа, 2003.
Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.
Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.
Пример.
Построить график функции y=x²+2x-3.
Решение:
y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).
График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².
Пример.
Построить график функции y= -x²+2x+8.
Решение:
y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):
Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.
Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.
Построить график функции y=x²+5x+4.
Решение:
y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).
Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).
В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).
Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:
Построить график функции y= -x²-3x.
Решение:
y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.
В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.
При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.
Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.
Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.
Рубрика: |Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 17. Парабола.
Глава 17. Парабола.
п.1. Основные определения.
Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой.
Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.
Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD.
По
определению параболы, точка М является
точкой параболы тогда и только тогда,
когда
.
По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.
Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы.
Обозначение:
.
Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы.
Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.
Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2.
В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу.
Ось
ординат проводим через середину отрезка
FNперпендикулярно фокальной
оси. Тогда фокус имеет координаты
.
п.2. Каноническое уравнение параболы.
Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:
.
(1)
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе.
Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы.
1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.
.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:
.
Из
рисунка 2 мы видим, что точка параболы
не может иметь отрицательной абсциссы,
т.к. в этом случае
.
Поэтому
и
.
Отсюда получаем равенство
.
Возведем обе части равенства в квадрат:
и после сокращения получаем:
.
2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.
Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:
,
откуда, по определению параболы, следует,
что точка М(х, у) лежит на параболе.
Здесь
мы воспользовались тем, что из равенства
(1) следует, что
и, следовательно,
.
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.
Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы.
п.3. Свойства параболы.
Теорема. (Свойства параболы.)
1. В канонической для параболы системе координат, в полосе
нет точек параболы.
2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе.
3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси.
Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы.
3)
Пусть М(х, у) – произвольная точка
параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (1). Но тогда координаты точки
также удовлетворяют уравнению (1), и,
следовательно, эта точка также является
точкой параболы, откуда и следует
утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.4. Построение параболы.
В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции
,
а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс.
Строим график этой
функции, учитывая, что данная функция
является возрастающей на промежутке
.
п.5. Фокальный параметр гиперболы.
Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.
Доказательство.
Так как точка
является точкой пересечения параболы
с перпендикуляром
(см. рис.3), то ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы:
.
Отсюда
находим
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.
Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение.
Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется:
а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1;
б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1;
в) параболой, если эта постоянная величина равна 1.
Эта
постоянная величина, о которой идет
речь в определении, называется
эксцентриситетом и обозначается
,
расстояние от данной точки до фокуса
есть ее фокальный радиусr,
расстояние от данной точки до директрисы
обозначается черезd.
Из
определения следует, что те точки
плоскости, для которых отношение
есть величина постоянная образуют
эллипс, гиперболу или параболу,
взависимости от величины этого отношения.
Если
,
то мы получаем эллипс, если
,
то мы получаем гиперболу, если
,
то мы получаем параболу.
п.7. Касательная к параболе.
Теорема.
Пусть
– произвольная точка параболы
.
Тогда уравнение касательной к этой параболе
в
точке
имеет вид:
.
(2)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид:
и
ее можно рассматривать как график
функции
.
Воспользуемся
уравнением касательной к графику функции
в точке
:
где
– значение производной данной функции
в точке
.
Найдем производную
функции
и ее значение в точке касания:
,
.
Здесь
мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой параболы и поэтому ее
координаты удовлетворяют уравнению
параболы, т.е.
.
Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:
,
откуда получаем:
.
Так
как точка
принадлежит параболе, то ее координаты
удовлетворяют ее уравнению, т.е.
,
откуда получаем
или
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
п.8. Зеркальное свойство параболы.
Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.
Доказательство.
Пусть
– точка касания,
– ее фокальный радиус. Обозначим черезNточку пересечения
касательной с осью абсцисс. Ордината
точкиNравна нулю и точкаNлежит на касательной,
следовательно, ее координаты удовлетворяют
уравнению касательной. Подставляя
координаты точкиNв
уравнение касательной, получаем:
,
откуда
абсцисса точки Nравна
.
Рассмотрим
треугольник
.
Докажем, что он равнобедренный.
Действительно,
.
Здесь мы воспользовались равенством,
полученным при выводе канонического
уравнения параболы:
.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.
Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.
Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.
Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.
Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".
Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина.
Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")
п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5).
Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой.
Теорема.
Пусть
– полярные координаты точки кривой
(эллипса, гиперболы или параболы). Тогда
,
(3)
где
р – фокальный параметр кривой,
– эксцентриситет кривой (для параболы
полагаем
).
Доказательство.
Пусть Q– проекция точки
М на фокальную ось кривой, В – на
директрису кривой. Пусть полярный угол
точки М является тупым, как на рисунке
5. Тогда
,
где
по построению,
– расстояние от точки М до директрисы,и
.
(4)
С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение
(5)
равно
эксцентриситету соответствующей кривой
для любой точки М на данной кривой. Пусть
точка
– точка пересечения кривой с перпендикуляром
к фокальной оси, воостановленного в
фокусеFи А – ее проекция
на директрису. Тогда
,
откуда
.
Но
,
откуда
и, подставляя в
равенство (4), получаем
или, учитывая равенство (5),
откуда и следует доказываемое равенство (3).
Заметим, что
равенство (4) остается верным и в случае,
когда полярный угол
точки М является острым, т.к. в этом
случае точкаQнаходится
правее фокусаFи
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы.
Определение 1
Парабола - это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.
То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.
Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.
Основные термины из канонического уравнения параболы
Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ - её директрисой.
Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.
Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.
Что из себя представляет каноническое уравнение параболы
Определение 2
Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:
$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.
Число $p$ из уравнения носит название "фокальный параметр".
Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.
Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ - это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.
А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = - 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.
Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.
При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$
Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы
Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы
Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.
Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac{p}{2}$ и $y = 0$.
Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = - \frac{p}{2}$.
Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:
$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.
Икс и игрек для этой точки равны $\frac{p}{2}$ $y$ соответственно.
Запишем уравнение (1) в координатной форме:
$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 }= x + \frac{p}{2}$
Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
$(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac{p^2}{4}$
После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.
Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции
Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:
$y = ax^2 + bx + c$.
Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:
$x_A = - \frac{b}{2a}$
$y_A = - \frac{D}{4a}$, где $D = b^2 – 4ac$.
Пример 1
Пример составления классического уравнения параболы
Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.
Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac{1}{2}$ фокального параметра $\frac{p}{2} = 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.
После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.
Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику
Пример 2
Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения
Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.
Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:
$2^2 = 2 \cdot 2p$
Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.