Расчет круглого бруса на изгиб с кручением. Изгиб с кручением круглого бруса

Введение.

Изгиб - вид деформации, характеризующийся искривлением (изменением кривизны) оси или срединной поверхности деформируемого объекта (бруса, балки, плиты, оболочки и др.) под действием внешних сил или температуры. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Если из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент, изгиб называется чистым:

Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего момента действует также поперечная сила – изгиб называется поперечным:

В инженерной практике рассматривается также особый случай изгиба- продольный И. (рис. 1 , в), характеризующийся выпучиванием стержня под действием продольных сжимающих сил. Одновременное действие сил, направленных по оси стержня и перпендикулярно к ней, вызывает продольно-поперечный изгиб (рис. 1 , г).

Рис. 1. Изгиб бруса: а - чистый: б - поперечный; в - продольный; г - продольно-поперечный.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после деформации остается плоской линией. Плоскость расположения изогнутой оси балки называется плоскостью изгиба. Плоскость действия нагрузочных сил называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения, изгиб называется прямым. (В противном случае имеет место косой изгиб). Главная плоскость инерции поперечного сечения - это плоскость, образованная одной из главных осей поперечного сечения с продольной осью бруса. При плоском прямом изгибе плоскость изгиба и силовая плоскость совпадают.

Задача о кручении и изгибе бруса (задача Сен-Венана) имеет большой практический интерес. Приложение теории изгиба, установленной Навье, составляет обширный отдел строительной механики и имеет громадное практическое значение, так как оно служит основанием для расчета размеров и поверки прочности разнообразных частей сооружений: балок, мостов, элементов машин и пр.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. основные уравнения

Вначале дадим общую сводку основных уравнений для задач рав­новесия упругого тела, которые составляют содержание раздела тео­рии упругости, называемого обычно статикой упругого тела.

Деформированное состояние тела вполне определяется тензором поля деформации или полем перемещений Компоненты тензора деформации связаны с перемещениями дифференциальными зависимостями Коши:

(1)

Компоненты тензора деформации должны удовлетворять дифферен­циальным зависимостям Сен-Венана:

которые являются необходимыми и достаточными условиями интег­рируемости уравнений (1).

Напряженное состояние тела определяется тензором поля напря­жений Шесть независимых компонент симметричного тензора () должны удовлетворять трем дифференциальным уравне­ниям равновесия:

Компоненты тензора напряжений и перемещения связаны шестью уравнениями закона Гука:

некоторых случаях уравнения закона Гука приходится исполь­зовать в виде формулы

, (5)

Уравнения (1)-(5) являются основными уравнениями стати­ческих задач теории упругости. Иногда уравнения (1) и (2) называют геометрическими уравнениями, уравнения (3) - статиче­скими уравнениями, а уравнения (4) или (5) - физическими урав­нениями. К основным уравнениям, определяющим состояние линейно-упруго­го тела в его внутренних точках объема , необходимо присоединить условия на его поверхности Эти условия называются граничными условиями. Они определяются либо заданными внешними поверхност­ными силами либо заданными перемещениями точек поверх­ности тела. В первом случае граничные условия выражаются равен­ством:

где - компоненты вектора t поверхностной силы, - компо­ненты единичного вектора п , направленного по внешней нормали к поверхности в рассматриваемой ее точке.

Во втором случае граничные условия выражаются равенством

где - заданные на поверхности функции.

Граничные условия могут также иметь смешанный характер, когда на одной части поверхности тела заданы внешние поверхностные си­лы а на другой части поверхности тела заданы перемещения:

Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некото­ром участке поверхности тела заданы только некоторые компоненту вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты вектора поверхностной силы.

§ 2. основные задачи статики упругого тела

В зависимости от вида граничных условий различают три типа ос­новных статических задач теории упругости.

Основная задача первого типа состоит в опре­делении компонент тензора поля напряжений внутри области , занятой телом, и компонент вектора перемещения точек внутри области и точек поверхности тела по заданным массовым силам и поверхностным силам

Искомые девять функций должны удовлетворять основным уравне­ниям (3) и (4), а также граничным условиям (6).

Основная задача второго типа состоит в опреде­лении перемещений точек внутри области и компонент тензо­ра поля напряжений по заданным массовым силам и по за­данным перемещениям на поверхности тела.

Искомые функции и должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4) и граничным условиям (7).

Заметим, что граничные условия (7) отражают требование о непре­рывности определяемых функций на границе тела, т. е. когда внутренняя точка стремится к некоторой точке поверхности , функция должна стремиться к заданному значению в данной точке поверхности.

Основная задача третьего типа или смешан­ная задача состоит в том, что по заданным поверхностным си­лам на одной части поверхности тела и по заданным переме­щениям на другой части поверхности тела а также, вообще говоря, по заданным массовым силам требуется определить компо­ненты тензора напряжений и перемещения , удовлетво­ряющие основным уравнениям (3) и (4) при выполнении смешан­ных граничных условий (8).

Получив решение данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на , которые должны быть приложены в точках по­верхности , чтобы реализовать заданные перемещения на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения то­чек поверхности . Курсовая работа >> Промышленность, производство

По длине бруса , то брус деформируется. Деформация бруса сопровождается одновременно... древесных, полимерных и др. При изгибе бруса , лежащего на двух опорах, ... изгибе будет характеризоваться стрелой прогиба. При этом напряжения сжатия в вогнутой части бруса ...

Преимущества клееного бруса в малоэтажном строительстве

Реферат >> Строительство

Решаются при использовании клееного профилированного бруса . Клееная древесина в несущих... , не скручивается и не изгибается . Это обусловлено отсутствием в... транспортировку топлива. 5. Поверхность клееного бруса , выполненного с соблюдением всех технологических...

Такое сочетание внутренних силовых факторов характерно при расчете валов. Задача является плоской, поскольку понятие «косой изгиб» для бруса круглого поперечного сечения, у которого любая центральная ось является главной- неприменимо. В общем случае действия внешних сил такой брус ис-пытывает сочетание следующих видов деформации: прямого поперечного изгиба, кручения и центрального растяжения (сжатия). На рис. 11.5 показан брус, нагруженный внешними силами, вызывающими все четыре вида дефор-мации.

Эпюры внутренних усилий позволяют выявить опасные сечения, а эпюры напряжений – опасные точки в этих сечениях. Касательные напряжения от поперечных сил достигают своего максимума на оси бруса и незначительны для бруса сплошного сечения и ими можно пренебречь, по сравнению с касательными напряжениями от кручения, достигающих своего максимума в периферийных точках (точка В).

Опасным является сечение в заделке, где одновременно имеют большое значение продольная и поперечная силы, изгибающий и крутящий моменты.

Опасной точкой в этом сечении, будет точка, где σ х и τ ху достигают значитель-ной величины (точка В). В этой точке действует наибольшее нормальное на-пряжение от изгиба и касательное напряжение от кручения, а также нормальное напряжение от растяжения

Определив главные напряжения по формуле:

находим σ red =

(при использовании критерия наибольших касательных напряжений m = 4, при использовании критерия удельной энергии изменения формы m = 3).

Подставив выражения σ α и τ ху, получаем:

или с учётом того, что W р =2 W z , A= (см. 10.4),

В случае, если вал испытывает изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то в формулу вместо М z надо подставить M tot =

Приведенное напряжение σ red не должно превышать допускаемого напряжения σ adm , определённого при испытаниях при линейном напряжённом состоянии с учётом коэффициента запаса прочности. При заданных размерах и допускаемых напряжениях выполняют поверочный расчёт, Размеры необхо-димые для обеспечения безопасной прочности находят из условия

11.5. Расчёт безмоментных оболочек вращения

В технике широко применяются элементы конструкций, которые с точки зрения расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонким оболо-чкам. Принято считать оболочку тонкой, если отношение ее толщины к габа-ритному размеру меньше 1/20. Для тонких оболочек применима гипотеза пря-мых нормалей: отрезки нормали к срединной поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми после деформирования. В этом случае имеет место линейное распределение деформаций, а следовательно и нормальных напряжений (при малых упругих деформациях) по толщине оболочки.

Поверхность оболочки получают вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой. Если кривую заменить прямой линией, то при вращении ее параллельно оси получается круговая цилиндрическая оболочка, а при вращении под углом к оси - коническая.

В расчетных схемах оболочку представляют ее срединной поверхностью (равноудаленной от лицевых). Срединную поверхность обычно связывают с криволинейной ортогональной системой координаты Ө и φ. Углом θ () определяется положение параллели линии пересечения середин-ной поверхности с плоскостью, проходящей нормально к оси вращения.

Рис.11.6 Рис. 11.7

Через нормаль с серединой поверхности можно провести множество пло-скостей, которые будут нормальны к ней и в сечениях с ней образовывать ли-нии с разными радиусами кривизны. Два из этих радиусов имеют экстремаль-ное значения. Линии, которым они соответствуют, называются линиями главных кривизн. Одна из линий является меридианом, её радиус кривизны обозначим r 1 . Радиус кривизны второй кривой – r 2 (центр кривизны лежит на оси вращения). Центры радиусов r 1 и r 2 могут совпадать (сферическая оболоч-ка), лежать по одну или по разные стороны срединной поверхности, один из центров может уходить в бесконечность (цилиндрическая и коническая оболоч-ки).

При составлении основных уравнений усилия и перемещения относим к нормальным сечениям оболочки в плоскостях главных кривизн. Составим ура-внения для внутренних усилий. Рассмотрим бесконечно малый элемент оболо-чки (рис. 11.6), вырезанный двумя смежными меридиональными плоскостями (с углами θ и θ+dθ) и двумя смежными параллельными кругами, нормальными к оси вращения (с углами φ и φ+dφ). В качестве системы осей проекций и моментов избираем прямоугольную систему осей x , y , z . Ось y направлена по касательной к меридиану, ось z – по нормали.

В силу осевой симметрии (нагрузка P=0) на элемент будут действовать только нормальные усилия. N φ - погонное меридиональное усилие, направлен-ное по касательной к меридиану: N θ - погонное кольцевое усилие, направлен-ное по касательной к окружности. Уравнение ΣХ=0 обращается в тождество. Спроектируем все силы на ось z :

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Если пренебречь бесконечно малой величиной высшего порядка ()r o dθ dφ и разделить уравнение на r 1 r o dφ dθ, то принимая во внима-ние, что получим уравнение, принадлежащее П. Лапласу:

Вместо уравнения ΣY=0 для рассматриваемого элемента составим урав-нение равновесия верхней части оболочки (рис. 11.6). Спроектируем все силы на ось вращения:

uде: R v - вертикальная проекция равнодействующей внешних сил, приложенных к отрезанной части оболочки. Итак,

Подставив значения N φ в уравнение Лапласа, найдём N θ . Определение усилий в оболочке вращения по безмоментной теории представляет собой статически определимую задачу. Это стало возможным в результате того, что мы сразу постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки – считали их постоянными.

В случае сферического купола имеем r 1 = r 2 = r и r о = r. Если нагрузка задана в виде интенсивности P на горизонтальную проекцию оболочки, то

Таким образом, в меридиональном направлении купол равномерно сжат. Составляющие поверхностной нагрузки вдоль нормали z равна P z =P. Подставляем значения N φ и P z в уравнение Лапласа и находим из него:

Кольцевые сжимающие усилия достигают максимума в вершине купола при φ = 0. При φ = 45 º - ­­N θ =0; при φ > 45- N θ =0 становится растягивающим и достигает максимума при φ = 90.

Горизонтальная составляющая меридионального усилия равна:

Рассмотрим пример расчёта безмоментной оболочки. Магистральный трубопровод заполнен газом, давление которого равно Р .

Здесь r 1 =R, r 2 = а в соответствии с ранее принятым допущением, что напряжения распределяются равномерно по толще δ оболочки

где: σ m - нормальные меридиональные напряжения, а

σ t - окружные (широтные, кольцевые) нормальные напряжения.

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым. Если наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях бруса возникают и поперечные силы, то изгиб называется поперечным.

Предполагается, что изгибающий момент и поперечная сила лежат в одной из главных плоскостей бруса (примем, что эта плоскость ZOY). Такой изгиб называется плоским.

Во всех рассматриваемых ниже случаях имеет место плоский поперечный изгиб балок.

Для расчета балки на прочность или жесткость необходимо знать внутренние силовые факторы, возникающие в ее сечениях. С этой целью строятся эпюры поперечных сил (эпюра Q) и изгибающих моментов (М).

При изгибе прямолинейная ось бруса искривляется, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Для определенности при построении эпюр поперечных сил изгибающих моментов установим для них правила знаков. Примем, что изгибающий момент будет считаться положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз, т.е. таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней части.

Если момент изгибает брус выпуклостью вверх, то этот момент будет считаться отрицательным.

Положительные значения изгибающих моментов при построении эпюры откладываются, как обычно в направлении оси У, что соответствует построению эпюры на сжатом волокне.

Поэтому правило знаков для эпюры изгибающих моментов можно сформулировать следующим образом: ординаты моментов откладываются со стороны слоев бруса.

Изгибающий момент в сечении равен сумме моментов относительно этого сечения всех сил, расположенных по одну стороны (любую) от сечения.

Для определения поперечных сил (Q) установим правило знаков: поперечная сила считается положительной, если внешняя сила стремиться повернуть отсеченную часть балки по час. стрелке относительно точки оси, которая соответствует проведенному сечению.

Поперечная сила (Q) в произвольном поперечном сечении бруса численно равна сумме проекций на ось ОУ внешних сил, приложенных к его осеченной части.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр поперечных сил изгибающих моментов. Все силы перпендикулярны оси балок, поэтому горизонтальная составляющая реакции равна нулю. Деформированная ось балки и силы лежат в главной плоскости ZOY.

Балка длиной защемлена левым концом и нагружена сосредоточенной силой F и моментом m=2F.

Построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М из.

В нашем случае на балку с правой стороны не наложено связей. Поэтому чтобы не определять опорные реакции, целесообразно рассматривать равновесие правой отсеченной части балка. Заданная балка имеет два участка нагружения. Границы участков-сечения, в которых приложены внешние силы. 1 участок - СВ,2 - ВА.

Проводим произвольное сечение на участке 1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиною Z 1 .

Из условия равновесия следует:

Q=F ; М из = -FZ 1 ()

Поперечная сила положительна, т.к. внешняя сила F стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке. Момент изгибающий считается отрицательным, т.к. он изгибает рассматриваемую часть балки выпуклостью вверх.

При составлении уравнений равновесия мысленно закрепляем место сечения; из уравнений () следует, что поперечная сила на I участке от Z 1 не зависит и является постоянной величиной. Положительную силу Q=F откладываем в масштабе вверх от осевой линии балки, перпендикулярно к ней.

Изгибающий момент зависит от Z 1 .

При Z 1 =O М из =O приZ 1 = М из =

Полученное значение () откладываем вниз, т.е. эпюра М из строится на сжатом волокне.

Переходим ко второму участку

Рассекаем участок II на произвольном расстоянии Z 2 от свободного правого торца балки и рассматриваем равновесие отсеченной части длиною Z 2 . Изменение поперечной силы и изгибающего момента на основе условий равновесия можно выразить следующими уравнениями:

Q=FM из = - FZ 2 +2F

Величина и знак поперечной силы не изменились.

Величина изгибающего момента зависит от Z 2 .

ПриZ 2 = M из =, приZ 2 =

Изгибающий момент получился положительным, как в начале участка II, так и в конце его. На участке II балка изгибается выпуклостью вниз.

Откладываем в масштабе величины моментов вверх по осевой линии балки (т.е. эпюра строится на сжатом волокне). Наибольший изгибающий момент возникает в сечении, где приложен внешний момент m и по абсолютной величине равен

Заметим, что на длине балки, где Q сохраняет постоянную величину, изгибающий момент М из меняется линейно и представляется на эпюре наклонными прямыми. Из эпюр Q и М из видно, что в сечении, где приложена внешняя поперечная сила, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М из - излом. В сечении, где приложен внешний изгибающий момент, эпюра Миз имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается. Из эпюры М из видим, что

max М из =

следовательно, опасное сечение предельно приближено с левой стороны к т.

Для балки изображенной на рис.13,а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. На длине балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q(КН/см).

На опоре А (шарнир неподвижный) возникнет вертикальная реакция R a (горизонтальная реакция равна нулю), а на опоре В (подвижный шарнир) возникает вертикальная реакция R в.

Определим вертикальные реакции опор, составляя уравнение моментов относительно опор А и В.

Проверим правильность определения реакции:

т.е. опорные реакции определены правильно.

Заданная балка имеет два участка нагружения: I участок - АС.

II участок - СВ.

На первом участке a, в текущем сечении Z 1 из условия равновесия отсеченной части имеем

Уравнение изгибающих моментов на 1 участке балки:

Момент от реакции R a изгибает балку на участке 1, выпуклостью вниз, поэтому изгибающий момент от реакции Ra вводится в уравнение со знаком плюс. Нагрузка qZ 1 изгибает балку выпуклостью вверх, поэтому момент от нее вводится в уравнение со знаком минус. Изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы.

Поэтому, необходимо выяснить имеет ли место экстремум. Между поперечной силой Q и изгибающим моментом существует дифференциальная зависимость на анализе которой мы остановимся далее

Как известно, функция имеет экстремум там, где производная равна нулю. Следовательно, чтобы определить при каком значении Z 1 , изгибающий момент будет экстремальным, надо уравнение поперечной силы приравнять к нулю.

Так как поперечная сила меняет в данном сечении знак с плюса на минус, то изгибающий момент в этом сечении будет максимальным. Если Q меняет знак с минуса на плюс, то изгибающий момент в этом сечении будет минимальным.

Итак, изгибающий момент при

является максимальным.

Поэтому, строим параболу по трем точкам

При Z 1 =0 М из =0

Рассекаем второй участок на расстоянии Z 2 от опоры В. Из условия равновесия правой отсеченной части балки имеем:

При величина Q=const,

изгибающий момент будет:

при, при, т.е. M ИЗ

меняется по линейному закону.

Балка на двух опорах, имеющая пролет равный 2 и левую консоль длиною, нагружена так, как показано на рис.14,а., где q(Кн/см) - погонная нагрузка. Опора А-шарнирно неподвижна, опора В - подвижный каток. Построить эпюры Q и М из.

Решение задачи следует начинать с определения реакций опор. Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Z следует, что горизонтальная составляющая реакции на опоре А равна 0.

Для проверки используем уравнение

Уравнение равновесия удовлетворяются, следовательно, реакции вычислены правильно. Переходим к определению внутренних силовых факторов. Заданная балка имеет три участка нагружения:

• 1 участок - СА,
• 2 участок - АД,
• 3 участок - ДВ.

Рассечем 1 участок на расстояние Z 1 от левого торца балки.

при Z 1 =0 Q=0 М ИЗ =0

при Z 1 = Q= -q М ИЗ =

Таким образом, на эпюре поперечных сил получается наклонная прямая, а на эпюре изгибающих моментов - парабола, вершина которой находится на левом конце балки.

На участке II (a Z 2 2a) для определения внутренних силовых факторов рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки длиною Z 2 . Из условия равновесия имеем:

Поперечная сила на этом участке постоянна.

На участке III()

Из эпюры видим, что наибольший изгибающий момент возникает в сечении под силой F и равен. Это сечение будет самым опасным.

На эпюре М из имеется скачок на опоре В, равный внешнему моменту, приложенному в данном сечении.

Рассматривая построенные выше эпюры, нетрудно подметить определенную закономерную связь между эпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Докажем это.

Производная от поперечной силы по длине бруса равняется по модулю интенсивности нагрузки.

Отбрасывая величину высшего порядка малости получим:

т.е. поперечная сила является производной от изгибающего момента по длине бруса.

Учитывая полученные дифференциальные зависимости можно сделать общие выводы. Если брус нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q=const, очевидно, функция Q будет линейной, а М из - квадратичной.

Если брус нагружен сосредоточенными силами или моментами, то в промежутках между точками их приложения интенсивность q=0. Следовательно, Q=const, а М из является линейной функцией Z. В точках приложения сосредоточенных сил эпюра Q претерпевает скачок на величину внешней силы, а в эпюре М из возникает соответствующий излом (разрыв в производной).

В месте приложения внешнего изгибающего момента наблюдается разрыв в эпюре моментов, равный по величине приложенному моменту.

Если Q>0, то М из растет, а если Q<0, то М из убывает.

Дифференциальные зависимости используются для проверки уравнений составленных для построения эпюр Q и М из, а также для уточнения вида этих эпюр.

Изгибающий момент меняется по закону параболы, выпуклость которой всегда направлена навстречу внешней нагрузки.

Краткие сведения из теории

Брус находятся в условиях сложного сопротивления, если в поперечных сечениях одновременно не равны нуле несколько внут­ренних силовых факторов.

Наибольший практический интерес представляют следующие случаи сложного нагружения:

1. Косой изгиб.

2. Изгиб с растяжением или сжатием, когда в поперечном
сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты, как,
например, при внецентренном сжатии бруса.

3. Изгиб с кручением, характеризующийся наличием в попе­
речных сечениях изгибающего (или двух изгибающих) и крутящего
моментов.

Косой изгиб.

Косой изгиб - это такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях zoy и zox, где ось z - ось бруса, а оси х и у - главные центральные оси поперечного сечения.

Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную силой Р (рис. 1).

Разложив силу Р по главным центральным осям поперечно­го сечения, получим:

Р у =Рcos φ, Р х =Рsin φ

В текущем сечении бруса возникают изгибающие моменты

М х = - Р у z = -Р z cos φ,

М у = Р х z = Р z sin φ.

Знак изгибающего момента М х определяется так же, как и в случае прямого изгиба. Момент М у будем считать положи­тельным, если в точках с положительным значением координаты х этот момент вызывает растягивающие напряжения. Кстати, знак момента М у легко установить по аналогии с определением знака изгибающего момента М x , если мысленно повернуть сечение так, чтобы ось х совпала с первоначальным направлением оси у.

Напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса можно определить, используя формулы определения напряженна для случая плоского изгиба. На основании принципа независимости действия сил суммируем напряжения, вызываемые каждым из изгибающих моментов

(1)

В это выражение подставляются значения изгибающих моментов (со своими знаками) и координаты точки, в которой подсчитывается напряжение.

Для определения опасных точек сечения необходимо опреде­лить положение нулевой или нейтральной линии (геометрического места точек сечения, в которых напряжения σ =0). Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии.

Уравнение нулевой линии получаем из уравнения (1) при =0:

откуда следует, что нулевая линия проходит через центр тяжес­ти поперечного сечения.

Возникающими в сечениях балки касательными напряжениями (при Q х ≠0 и Q у ≠0), как правило, можно пренебречь. Если же возникает необходимость в их определении, то вычисляются вначале составляющие полного касательного напряжения τ х и τ у по формуле Д.Я.Журавского, а затем последние геометрически суммируются:

Для оценки прочности бруса необходимо определить в опасном сечении максимальные нормальные напряжения. Так как в наиболее нагруженных точках напряженное состояние одноосное, то условие прочности при расчете по методу допускаемых напря­жений принимает вид

Для пластичных материалов,

Для хрупких материалов,

n- коэффициент запаса прочности.

Если вести расчет по методу предельных состояний, то ус­ловие прочности имеет вид:

где R – расчетное сопротивление,

m – коэффициент условий работы.

В тех случаях, когда материал бруса различно сопротивля­ется растяжению и сжатию, необходимо определить как максималь­ное растягивающее , так и максимальное сжимающее напряжения, а заключение о прочности балки сделать из соотношений:

где R p и R c - соответственно расчетные сопротивления материа­ла при растяжении и сжатия.

Для определения прогибов балки удобно предварительно най­ти перемещения сечения в главных плоскостях по направлению осей х и у.

Вычисление этих перемещений ƒ x и ƒ y можно осуществить путем составления универсального уравнения изогнутой оси бал­ки или энергетическими методами.

Полный прогиб можно найти как геометрическую сумму:

условие жесткости балки имеет вид:

где - - допускаемый прогиб балки.

Внецентренное сжатие

В этом случае сжимающая брус сила Р направлена параллельно оси бруса и приложена в точке, не совпадающей с цент­ром тяжести сечения. Пусть Х р и У p - координаты точки прило­жения силы Р, отсчитанные относительно главных центральных осей (рис.2).

Действующая нагрузка вызывает появление в попе речных сечениях следующих внутренних силовых факторов: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Знаки изгибающих моментов отрицательны, поскольку послед­ние вызывают сжатие в точках, принадлежащих первой четверти. Напряжение в произвольной точке сечения определяется выражением

(9)

Подставив значения N, Мх и Му, получим

(10)

Так как Ух= F, Уу= F (где i x и i y - главные радиусы инерции), то последнее выражение можно привести к виду

(11)

Уравнение нулевой линии получим, положив =0

1+ (12)

Отсекаемые нулевой линией на осях координат отрезке и , выразятся следующим образом:

С помощью зависимостей (13) можно легко найти положе­ние нулевой линии в сечении (рис. 3), после чего определяются наиболее удаленные от этой линии точки, которые являются опасными, поскольку в них возникают максимальные напряжения.

Напряженное состояние в точках сечения - одноосное, по­этому условие прочности бруса аналогично ранее рассмотренному случаю косого изгиба бруса - формулы (5), (6).

При внецентренном сжатии брусьев, материал которых слабо сопротивляется растяжению, желательно не допустить появления в сечении растягивающих напряжений. В сечении возникнут напряжения одного знака, если нулевая линия будет проходить вне сечения или в крайнем случае касаться его.

Это условие выполняется тогда, когда сжимающая сила при­ложена внутри области, называемой ядром сечения. Ядро сечения - это область, охватывающая центр тяжести сечения и характер­ная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой зоны, вызывает во всех точках бруса напряжения одного знака.

Для построения ядра сечения необходимо задавать положение нулевой линии так, чтобы она касалась сечения, нигде не пере­секая его, и находить соответствующую точку приложения силы Р. Проведя семейство касательных к сечению, получим множество соответствующих им полюсов, геометрическое место которых даст очертание (контур) ядра сечения.

Пусть, например, дано сечение, показанное на рис. 4, с главными центральными осями х и у.

Для построения ядра сечения приведем пять касательных, четыре из которых совпадает со сторонами АВ, ДЕ, EF и FA, а пятая соединяет точки В и Д. Измерив или вычислив от резки, отсекаемые указанными касательными I-I, . . . ., 5-5 на осях х, у и подставляя эти значения в зависимости (13), определяем координаты х р, у р для пяти полюсов 1, 2....5, соответствующих пяти положениям нулевой линии. Касательную I-I можно перевести в положение 2-2 вращением вокруг точки А, при этом полюс I должен перемещаться по прямой и в результате поворота касательной перейти в точку 2. Следовательно, все полюсы, соответствующие промежуточным положениям касательное между I-I и 2-2, расположатся на прямой 1-2. Аналогично можно доказать, что остальные стороны ядра сечения также будут прямоугольными, т.е. ядро сечения - многоугольник, для построения которого достаточно соединить полюсы 1, 2, ... 5 прямыми.

Изгиб с кручением круглого бруса.

При изгибе с кручением в поперечном сечении бруса в общем случае не равны нулю пять внутренних силовых факторов: М х, М у, М к, Q x и Q у. Однако в большинстве случаев влиянием перерезывающих сил Q x и Q y можно пренебречь, если сечение не является тонкостенным.

Нормальные напряжения в поперечном сечении можно опреде­лять по величине результирующего изгибающего момента

т.к. нейтральная ось перпендикулярна к полости действия момента М u .

На рис. 5 изображены изгибающие моменты М х и М y в ви­де векторов (направления М х и М y выбраны положительными, т.е. такими, чтобы в точках первого квадранта сечения напряже­ния были растягивающими).

Направление векторов М х и М y выбрано таким образом, чтобы наблюдатель, глядя с конца вектора, видел их направлен­ными против движения часовой стрелки. В этом случае нейтраль­ная линия совпадает с направлением вектора результирующего мо­мента М u , а наиболее нагруженные точки сечения А и В ле­жат в плоскости действия этого момента.

В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и круче­ния (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные на­пряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возникают на поверхности. Расчет следует вести по теории проч­ности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным про­стым.

Максимальное напряжение кручения в сечении

Максимальное напряжение изгиба в сечении

По одной из теорий прочности в зависимости от материала бруса рассчитывают эквивалентное напряжение для опасного сечения и проверяют брус на прочность, используя допускаемое напряжение изгиба для материала бруса.

Для круглого бруса моменты сопротивления сечения следую­щие:

При расчете по третьей теории прочности, теории максималь­ных касательных напряжений, эквивалентное напряжение рассчи­тывается по формуле

Теория применима для пластичных материалов.

При расчете по теории энергии формоизменения эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле

Теория применима для пластичных и хрупких материалов.

теории максималь­ных касательных напряжений:

Эквивалентное напряжение при расчете по теории энергии формоизменения:

где - эквивалентный момент.

Условие прочности

Примеры решения задач

Пример 1. Для заданного напряженного состояния (рис. 34.4), пользуясь гипотезой максимальных касательных напряжений, вычислить ко­эффициент запаса прочности, если σ Т = 360 Н/мм 2 .

Контрольные вопросы и задания

1. Чем характеризуется и как изображается напряженное состо­яние в точке?

2. Какие площадки и какие напряжения называют главными?

3. Перечислите виды напряженных состояний.

4. Чем характеризуется деформированное состояние в точке?

5. В каких случаях возникают предельные напряженные состо­яния у пластичных и хрупких материалов?

6. Что такое эквивалентное напряжение?

7. Поясните назначение теорий прочности.

8. Напишите формулы для расчета эквивалентных напряжений при расчетах по теории максимальных касательных напряжений и теории энергии формоизменения. Поясните, как ими пользоваться.

ЛЕКЦИЯ 35

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Уметь рассчитывать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций.