Вывод формулы работы силы упругости. Работа силы тяжести

В повседневной жизни часто приходится встречаться с таким понятием как работа. Что это слово означает в физике и как определить работу силы упругости? Ответы на эти вопросы вы узнаете в статье.

Механическая работа

Работа - это скалярная алгебраическая величина, которая характеризует связь между силой и перемещением. При совпадении направления этих двух переменных она вычисляется по следующей формуле:

• F - модуль вектора силы, которая совершает работу;
• S - модуль вектора перемещения.

Не всегда сила, которая действует на тело, совершает работу. Например, работа силы тяжести равна нулю, если ее направление перпендикулярно перемещению тела.

Если вектор силы образует отличный от нуля угол с вектором перемещения, то для определения работы следует воспользоваться другой формулой:

A=FScosα

α - угол между векторами силы и перемещения.

Значит, механическая работа - это произведение проекции силы на направление перемещения и модуля перемещения, или произведение проекции перемещения на направление силы и модуля этой силы.

Знак механической работы

В зависимости от направления силы относительно перемещения тела работа A может быть:

• положительной (0°≤ α<90°);
• отрицательной (90°<α≤180°);
• равной нулю (α=90°).

Если A>0, то скорость тела увеличивается. Пример - падение яблока с дерева на землю. При A<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Единица измерения работы в СИ (Международной системе единиц) - Джоуль (1Н*1м=Дж). Джоуль - это работа силы, значение которой равно 1 Ньютону, при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы.

Работа силы упругости

Работу силы можно определить и графическим способом. Для этого вычисляется площадь криволинейной фигуры под графиком F s (x).

Так, по графику зависимости силы упругости от удлинения пружины, можно вывести формулу работы силы упругости.

Она равна:

A=kx 2 /2

• k - жесткость;
• x - абсолютное удлинение.

Что мы узнали?

Механическая работа совершается при действии на тело силы, которая приводит к перемещению тела. В зависимости от угла, который возникает между силой и перемещением, работа может быть равна нулю или иметь отрицательный или положительный знак. На примере силы упругости вы узнали о графическом способе определения работы.

Вопросы

1. Как связана потенциальная энергия тела с работой силы тяжести?

2. Как изменяется потенциальная энергия тела при его движении вверх?

3. Изменяется ли потенциальная энер­гия при движении тела параллельно по­верхности Земли?

4.Что такое нулевой уровень?

Упражнение 25

1. Груз массой 2,5 кг падает с высоты 10 м. На сколько изменится его потен­циальная энергия через 1 с после начала падения? Начальная скорость груза равна нулю.

2. Какая работа совершается силой тя­жести, когда человек массой 75 кг подни­мается по лестнице от входа в дом до 6-го этажа, если высота каждого этажа 3 м?

3. Перепад высот между местами старта и финиша горнолыжных соревнований составляет 400 м. Слаломист принимает старт и благополучно финиширует. Чему равна работа силы тяжести, если масса слало­миста перед стартом равна 70 кг?

4. Место финиша трассы горнолыжных соревнований находится на высоте 2000 м над уровнем моря, а точка старта - на высоте 400 м над точкой финиша. Чему равна потенциальная энергия лыжника на старте относительно точки финиша и уров­ня моря? Масса лыжника 70 кг.

Сила упругости - это сила, воз­никающая при деформации тела. В качестве примера силы упругости удобно рассматривать силу упру­гости пружины, хотя все законо­мерности, установленные для пру­жины, относятся и к другим дефор­мированным телам. Сила упругости пропорциональна деформации, в частности удлинению пружины. На­правлена она в сторону, противо­положную смещению частиц тела при деформации.

На рисунке 141, а показана пружина в ее естественном, недеформированном состоянии. Правый конец пружины закреплен, а к ле­вому прикреплено какое-то тело. Направим ось координат X так, как показано на рисунке. Если пружину сжать, сместив ее левый конец впра­во на расстояние Х 1 , то возникает сила упругости (рис. 141,6), направ­ленная влево. Проекция этой силы на ось X равна - kx 1 , где k - жест­кость пружины.

Предоставим теперь пружину самой себе. Тогда конец пружины будет смещаться влево. При этом движении сила упругости совершает работу.

Предположим, что левый конец пружины (и тело, скрепленное с ним) переместился из положения А в по­ложение В (рис. 141, в). В этом положении деформация (удлинение) пружины равна уже не х 1 , а х 2 . Перемещение конца пружины равно разности координат конца пружины:

Х 1 - Х 2 .

Направления силы и перемеще­ния совпадают, и чтобы найти ра­боту, нужно перемножить модули силы упругости и перемещения. Но сила упругости при движении изме­няется от точки к точке, потому что изменяется удлинение пружины: в точке А модуль силы упругости равен kx 1 , в точке В - kx 2 . Для вы­числения работы силы упругости нужно взять среднее значение силы упругости и умножить его на пере­мещение:

A = F cp (x 1 -x 2).

Среднее значение силы упругос­ти равно полусумме начального и конечного ее значений:

(x 1 - x 2)

Так как (x l + x 2)(x 1 -x 2) = x 2 1 - х 2 2 , то работа получается равной

Работа, как видно из этой фор­мулы, зависит только от координат x 1 и x 2 начального и конечного по­ложений конца пружины (x 1 и x 2 - это и удлинения пружины, и коор­динаты ее конца).

Интересно, что в формулу для работы не входит масса тела, при­крепленного к пружине. Но и сила упругости от массы тела, к которому она приложена, не зависит. Уже ранее указывалось, что в этом со­стоит особенность силы упругости.

Потенциальная энергия дефор­мированного тела.

Формулу (1) для работы силы упругости можно за­писать (переставив порядок членов в правой части) в таком виде:

Здесь в правой части равенства

стоит изменение величины -2- со знаком «минус».

В предыдущем параграфе вели­чину mgh, изменение которой (с противоположным знаком) равно ра­боте силы тяжести, мы назвали по­тенциальной энергией поднятого те­ла. Такое же название можно дать и

величине kx 2 /2, раз ее изменение, и тоже с противоположным знаком, равно работе. Величина kx 2 /2 пред­ставляет собой потенциальную энер­гию деформированного тела, в част­ности пружины.

Формула (2) означает, что ра­бота силы упругости равна изме­нению потенциальной энергии уп­руго деформированного тела (пру­жины), взятому с противоположным знаком.

Работа силы упругости, как и работа силы тяжести, зависит толь­ко от начальной и конечной коор­динат свободного конца, например, пружины (от х 1 до х 2). Поэтому о ней можно сказать то же, что и о ра­боте силы тяжести,- эта работа не зависит от формы траектории. А если траектория замкнутая, то ра­бота равна нулю.

Если за начало отсчета коор­динаты принять положение конца недеформированной пружины, а пру­жина удлинена на х, то формула (2) принимает вид:

Но kx 2 /2 это потенциальная энер­гия тела (пружины) при удлине­нии х. Значит, потенциальная энер­гия деформированного тела равна работе силы упругости при пере­ходе тела (пружины) в состояние, в котором его деформация равна нулю. О потенциальной энергии тела, на которое действует сила тяжести, мы говорили, что это энергия взаи­модействия. Потенциальная энергия упруго деформированного тела - это тоже энергия взаимодействия. Но теперь это энергия взаимодейст­вия частиц, из которых состоит тело. Это относится и к пружине. В ней взаимодействуют витки пружины, частицы вещества, из которых она сделана.

1. Чему равно среднее значение силы упругости?

2. В чем сходство выражений для ра­боты силы упругости и работы силы тя­жести?

3. Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое она действует, пройдя какое-то расстояние, вернулось в исходную точку?

4. Может ли обладать потенциальной энергией тело, находящееся в состоянии равновесия?

5. Может ли обладать потенциальной энергией тело, на которое не действуют никакие силы?

6. Чему равна потенциальная энергия уп­руго деформированного тела?

7. Что общего у потенциальных энер­гий деформированного тела и тела, на ко­торое действует сила тяжести?

Упражнение 26

1.Мальчик определил, что максимальная сила, с которой он может растягивать ди­намометр, равна 400 Н. Чему равна работа этой силы при растяжении динамометра? Жесткость пружины динамометра равна 10 000 Н/м.

2.К пружине, верхний конец которой закреплен, подвешено тело массой 18 кг. При этом длина пружины равна 10 см. Когда же к ней подвешено тело массой 30 кг, ее длина равна 12 см. Вычислите работу, которую совершает внешняя сила при растяжении пружины от 10 до 15 см. Какую работу совершает при этом сила упругости?

3. На рисунке 142 показан график за­висимости силы упругости, возникающей при сжатии пружины, от ее деформации. Вы­числите, используя этот график, работу внешней силы при сжатии пружины на 2 см. Докажите, что эта работа численно равна площади треугольника АОВ.

4. Имеются две пружины с одинаковой жесткостью. Одна из них сжата на 5 см, другая растянута на 5 см. Чем разли­чаются удлинения этих пружин и их потен­циальные энергии?

5. К пружинным весам подвешен груз. При этом груз опустился и стрелка весов остановилась на цифре 3. На сколько уве­личилась потенциальная энергия пружины весов, если шкала весов градуирована в ньютонах, а расстояние между соседними делениями равно 5 мм!

5. Сжатая пружина, жесткость кото­рой 10 000 Н/м, действует на прикреплен­ное к ней тело с силой 400 Н. Чему равна потенциальная энергия пружины? Какая ра­бота была совершена внешней силой при ее сжатии? Какую работу совершит сила уп­ругости пружины, если дать ей возможность восстановить первоначальную форму?

Рис. 142

1. Среднее значение силы упругости равно полусумме начального и конечного ее значений.

2. В чем сходство выражений для работы силы упругости и работы силы тяжести?

2. Работа силы упругости, как и работа силы тяжести, зависит только от начальной и конечной координаты свободного конца, например, пружины (от х 1 до x 2).

3. Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое она действует, пройдя какое-то расстояние, вернулось в исходную точку?

3. Так как работа силы упругости не зависит от формы траектории, то ее работа в данном случае равна нулю.

4. Может ли обладать потенциальной энергией тело, находящееся в состоянии равновесия?

4. Может, так как потенциальная энергия тела зависит только от его координат, и не зависит от суммы действующих на него сил.

5. Может ли обладать потенциальной энергией тело, на которое не действуют никакие силы?

5. Нет, так как потенциальная энергия равна работе силы при переходе тела из одного его положения в другое, в котором его координаты считаем нулевыми. Если же на тело не действуют никакие силы, то и потенциальная энергия этого тела отсутствует.

6. Чему равна потенциальная энергия упруго деформированного тела?

6. Потенциальная энергия деформированного тела равна работе силы упругости при переходе тела в состояние, в котором его деформация равна нулю.

Рассмотрим пружину жесткости k , находящуюся первона­чально в нерастянутом (свободном) состоянии, которую растягивают на Dх (рис. 20.5) и вычислим работу силы упругости.

По закону Гука сила уп­ругости пропорциональна деформации пружины: , где |Dх | – величина деформации. Причем, сила упругости направлена противоположно деформации пружины, т.е. .

Построим график , где х – величина деформации (см. pиc. 20.5): это – график линейной функции. Угол между и равен 180°, поэтому работа силы упругости будет отрицательной. Эта работа численно равна площади S треугольника ОАВ , но взятой со знаком минус:

. (22.3)

Читатель . Изменится ли результат, если пружину не растянуть, а сжать на расстояние Dх ?

Задача 20.2. Растяжение пружины (общий случай). Пружину жесткостью k = 200 Н/м растянули сначала на Dl 1 = 20 см, а потом еще на Dl 2 = 5,0 см. Какую работу совершили в первом и втором случае?

k = 200 Н/м Dl 1 = 20 см = 0,20 м Dl 2 =5,0 см = 0,050 м
А 1 = ? А 2 = ?
Рис. 20.6

Решение . В данном случае направление силы совпадает с перемещением, поэтому работа положительная. Построим график зависимости силы F , растягивающей пружину, от величины дефор­мации х (рис. 20.6). Работу на участке Dl 1 можно вычис­лить как площадь DА 0В :

Работу на участке Dl 2 можно вычислить как площадь трапеции АВСD , которая, как известно из геометрии, равна произведению полу­суммы оснований на высоту:

.

По графику находим АВ = F 1 = k Dl 1 ; CD = F 2 = k (Dl 1 + Dl 2); ВС = Dl 2 .

Подставим численные значения:

= ×(2×0,20 м + 0,050 м) ×0,050 м »

Ответ: А 1 » 4,0 Дж; A 2 » 2,3 Дж.

СТОП! Решите самостоятельно: А5, А6, В6, В7, С1.

Задача 20.3 . Груз массы m = 3,0 т поднимается лебедкой с ускорением а = 2,0 м/с 2 . Определить работу, произведенную в первые t = 2,0 с от начала подъема.

3,0×10 3 кг × (9,8 м/с 2 + 2,0 м/с 2)

141600 Дж » 0,14 МДж.

Ответ : » 0,14 МДж.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С2.

Задача 20.4. К лежащему на горизонтальной поверхности брус­ку массы m = 12 кг прикреплена пружина жесткостью k = 300 Н/м. Коэффициент трения между бруском и поверхностью m = 0,40. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины горизонтальную силу , медленно переместили брусок на расстояние s = 0,40 м. Какая работа была при этом совершена силой ? Принять g = 10 м/с 2 .

то брусок будет оставаться на месте, а пру­жина будет растягиваться (рис. 20.8,б ). Следовательно, до момен­та начала движения бруска сила будет совершать работу по растяжению пружины на расстояние Dх .

«Физика - 10 класс»

Вычислим работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз.

В начальный момент времени тело находилось на высоте hx над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высоте h 2 (рис. 5.8). Модуль перемещения тела |Δ| = h 1 - h 2 .

Направления векторов силы тяжести T и перемещения Δ совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (5.2)) имеем

А = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.12)

Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис. 5.9). Векторы Т и Δ направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения |Δ| = h 2 - h 1 . Работу силы тяжести запишем так:

А = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2 . (5.13)

Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол а с направлением силы тяжести (рис. 5.10), то работа силы тяжести равна:

А = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

Из прямоугольного треугольника BCD видно, что |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Следовательно,

А = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.14)

Это выражение совпадает с выражением (5.12).

Формулы (5.12), (5.13), (5.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела, определяемых высотами h 1 и h 2 над поверхностью Земли.

Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 5.11), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 - h 2 . Таким образом, работа силы тяжести при перемещении вдоль кривой ВС равна:

А = mgh 1 - mgh 2 .

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории.

Определим работу А при перемещении тела по замкнутому контуру, например по контуру BCDEB (рис. 5.12). Работа А 1 силы тяжести при перемещении тела из точки В в точку D по траектории BCD: А 1 = mg(h 2 - h 1), по траектории DEB: А 2 = mg(h 1 - h 2).

Тогда суммарная работа А = А 1 + А 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Итак работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами .

Сила тяжести является консервативной силой.