1 многоугольник определение чертеж основные элементы. Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятиями многоугольника и четырехугольниками, узнаете, чему равна сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.

Многоугольники

Рассмотрим понятие «многоугольник». Интуитивно вы, конечно, представляете, что это за геометрическая фигура. Вы встречались с многоугольниками и в начальной школе, и в 5–6 классах. Вам знакомы частные случаи многоугольников: треугольник, прямоугольник, квадрат.

Сформулируем определение многоугольника и приведем примеры.

Для определения понятия «многоугольник» также используют понятия «ломаная». Ломаная – это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных друг с другом.

Используя понятие «ломаная», можно дать такое определение понятию «Многоугольник».

Рассмотрим примеры фигур, которые являются многоугольниками и не являются ими. На рисунках 1 и 2 приведены примеры многоугольников: выпуклые пятиугольник и семиугольник на рисунке 1 и невыпуклые четырехугольник и шестиугольник на рисунке 2.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются сторонами многоугольника , а концы отрезков – его вершинами .

Задание 1.

Изобразите у себя в тетрадях семиугольник, изображенный на рисунке 1. Продолжите его стороны за его вершины. Убедитесь в том, что для него справедливо наше утверждение.

Обозначьте вершины семиугольника. Выпишите их к себе в тетрадь. Выпишите стороны семиугольника.

Как вы видите, в любом n-угольнике количество вершин равно количеству сторон .

Теперь посмотрим на изображение невыпуклого четырехугольника. Проделаем ту же операцию с ним: продолжим его стороны за его вершины (рисунок 4).

Задание 2.

Изобразите у себя в тетрадях шестиугольник, изображенный на рисунке 2. Продолжите его стороны за его вершины. Убедитесь в том, что для него справедливо наше утверждение.

На рисунке 5 изображена замкнутая ломаная, которая многоугольников не является. Почему?

Многоугольником также называют геометрическую фигуру, состоящую из его сторон и внутренней области.

Поработайте с материалами первой части видеоурока «Многоугольники».

В материалах видеоурока сформулировано определение периметра многоугольника .

Определение. Периметром многоугольника называется сумма всех его сторон.

Кроме того, вы узнали, что среди многоугольников, как и среди треугольников, выделяются правильные многоугольники .

Определение. Правильным называется выпуклый многоугольник, все стороны и все углы которого равны.

Кроме таких элементов многоугольника как вершины и стороны, выделим диагонали многоугольника .

Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий несмежные вершины.

Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника

Прежде чем переходить к изучению следующей части занятия, поработайте с электронным образовательным ресурсом « ».

Теперь сформулируем теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема (о сумме углов выпуклого многоугольника).
Сумма углов выпуклого n -угольника равна .

С доказательством этой теоремы познакомьтесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Многоугольники».

Задание 3.

Запишите два варианта доказательства этой теоремы себе в тетрадь. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на или в видеокомнате.

Пример 1.

Найдем сумму внутренних углов некоторых выпуклых многоугольников.

1. Четырехугольник

В четырехугольнике n = 4. Поэтому сумма углов четырехугольника равна

2. Пятиугольник

В пятиугольнике n = 5. Поэтому сумма углов пятиугольника равна

3. Шестиугольник

В шестиугольнике n = 6. Поэтому сумма углов шестиугольника равна

4. Восьмиугольник

В восьмиугольнике n = 8. Поэтому сумма углов восьмиугольника равна

5. Десятиугольник

В десятиугольнике n = 10. Поэтому сумма углов десятиугольника равна

В том случае, когда многоугольник является правильным, мы можем найти величину каждого его угла. Действительно, так как все углы правильного многоугольника равны, то величина каждого его угла равна .

Пример 2.

Найдем величину угла для некоторых правильных многоугольников.

1. Пятиугольник

В пятиугольнике n = 5. Поэтому угол в пятиугольнике равен

2. Шестиугольник

В шестиугольнике n = 6. Поэтому угол в пятиугольнике равен

3. Восьмиугольник

В восьмиугольнике n = 8. Поэтому угол в восьмиугольнике равен

4. Десятиугольник

Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.

Определение 1

Многоугольник

— это фигура, составленная из отрезков

так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Определение 2

Многоугольником называется простая замкнутая .

Точки

называются вершинами многоугольника , отрезки

— сторонами многоугольника .

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .

Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .

Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.

Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.

Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .

Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.

Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали

(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).

Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.

Следовательно, n — угольник имеет

диагонали.

Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Многоугольники 1. Что такое многоугольник? 2. Какая зависимость существует между числом вершин, числом углов и числом сторон многоугольника? Ответ: число вершин многоугольника равно числу его сторон и числу его углов. 3. Чем отличается друг от друга два пятиугольника и два шестиугольника? 4. Какой многоугольник называется правильным? Ответ: многоугольник называется правильным, если все стороны и все углы у него равны. Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник Неправильный пятиугольник Неправильный шестиугольник

5. Какие правильные многоугольники мы уже изучали, назовите их свойства? 6. Чем отличаются многоугольники, изображенные на рисунке 1, от многоугольников, изображенных на рисунке 2? Рисунок 1 Рисунок 2 Выпуклые многоугольники Невыпуклые многоугольники (вогнутые) Ответ: если весь многоугольник лежит по одну сторону от любой из его сторон, то он в вв выпуклый, если нет, то в вв вогнутый. 7. Что такое диагональ многоугольника? 8. Начертите два четырехугольника, проведите их диагонали. 9. Что вы заметили? Ответ: выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали, вогнутый – не все!

Домашнее задание 1. Выучить записи в тетради Выполнить задания 15 и 18 на стр.82, все начертить в домашней тетради! Дополнительное задание Рабочая тетрадь 3, стр. 38, задания 29 и 30

Решение задач 1. Является ли шестиугольник, изображенный на рисунке 1, правильным? Рис Является ли восьмиугольник, изображенный на рисунке 2, правильным, а треугольник? Рисунок 3 v vv v v 2. Определите, какие из многоугольников, представленных на рисунке 3, являются выпуклыми, а какие вогнутыми. Рис. 2

4. Сколько диагоналей имеет треугольник? 5. Сколько диагоналей имеет четырехугольник? 6. Сколько диагоналей имеет пятиугольник? 7. Сколько диагоналей имеет шестиугольник? 8. Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно числу его сторон? Решение задач Нет диагоналей Две диагонали Пять диагоналей Девять диагоналей Пятиугольник!

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника , а их концы - вершинами многоугольника .

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Теорема 1

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).

Рисунок 3.

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Теорема доказана.

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Определение 5

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Теорема 2

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

\[\left(4-2\right)\cdot {180}^0={360}^0\]

Теорема доказана.

Многоугольник — Математика 1 класс (Моро)

Краткое описание:

Вы уже многое знаете о геометрии, но, наверное, хотите знать еще больше. Поэтому наше путешествие в удивительную страну Геометрию продолжается. Вам хорошо знакома такая фигура, как отрезок. А что получится, если три отрезка соединятся между собой? Верно, получится ломаная линия. Вы, конечно же, помните, что ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Если три отрезка соединить в замкнутую ломаную линию, то получится … Догадались? Получится треугольник. А можно ли получить другие фигуры из ломаной линии? Конечно, можно! Все зависит от количества звеньев ломаной линии. Так, например, если звеньев будет четыре, то получится четырехугольник, пять звеньев – пятиугольник и так далее. А теперь подумайте, как мы можем назвать одним словом фигуры, образованные замкнутой ломаной линией? Воспользуйтесь подсказкой: у всех этих фигур звенья образуют разное количество углов. Такие фигуры мы назовем многоугольниками. Многоугольники встречаются вас на каждом шагу. Так, крышка парты – это четырехугольник, некоторые дорожные знаки – треугольники, клумбы могут пятиугольниками, шестиугольниками. Тема «Многоугольники» неисчерпаема. Вы встретитесь с ней не только в первом классе, но и будете постоянно встречаться с ней все время, пока обучаетесь в школе. Подружитесь с многоугольниками!