Бензиновые моторы 

Формула Вульфа — Брэггов. Формула Вульфа-Брэгга

Дифракция наблюдается на трехмерных структурах, т.е. пространственных образованиях с периодичностью по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Такой структурой обладают все кристаллические тела. Период, т.е. расстояние между двумя ближайшими атомами, порядка . Для того, чтобы наблюдалась дифракция необходимо, чтобы период структурыбыл больше. Поэтому для кристаллов это условие для видимого света не выполняется, а выполняется для ренгеновских лучей. Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости, называемые атомными слоями. Если падающая на кристалл волна плоская, то огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в этом слое, также будет представлять собой плоскость. Т.е. суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отраженной от атомной плоскости по обычному закону отражения. Плоские волны, отразившиеся от разных атомных плоскостей, когерентны, и, следовательно, будут интерферировать. В направлениях, в которых разность хода между соседними волнами кратна , будет наблюдаться максимум, во всех остальных направлениях волны будут гасить друг друга. Оптическая разность хода волн, отразившихся от соседних слоев:
, гдеd – период кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, - угол скольжения. Направления, в которых получаются максимумы, определяются условиями:. Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов, но наибольшую интенсивность имеют те максимумы, которые получаются за счет отражений от слоев, густо усеянных атомами.

Два применения:

    Для изучения структуры кристаллов (рнгеноструктурный анализ): если известна , то определяется период решетки.

    Для изучения спектрального состава ренгеновского излучения (ренгеновская спектроскопия): если известен период, то определяют .

Разрешающая способность для оптических приборов.

Возможность разрешения, т.е. раздельного восприятия двух близких спектральных линий зависит от расстояния между ними и от ширины спектрального максимума. Два близких максимума воспринимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума. Согласно критерию Рэлея, такое соотношение интенсивностей имеет место, если середина одного максимума совпадает с краем другого.

Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном для данного прибора значении
. Разрешающей способностью спектрального прибора называют величину
. Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Условие главного максимума:
Условие дополнительных минимумов:
. Если
, то получится условие главного максимума. Если
, то будет следующий за главным максимумом дополнительный минимум.

Положение m-ого максимума для длины волны
определяется условием:. Краяm-ого минимума для длины волны расположены под углами, удовлетворяющими соотношению:
. Условие Рэлея будет выполняться, когда
. Следовательно,
.

25/Поляризация света.

Естественный и поляризованный свет.

Как говорилось выше, свет - это поперечные электромагнитные волны. Векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей перпендикулярны друг другу и перпендикулярны направлению распространения волны. При рассмотрении явления поляризации будем рассматривать только вектор Е, помня, однако, что вектор напряженности Н перпендикулярен вектору Е.

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы излучают независимо друг от друга, число атомов велико, интенсивность излучения каждого атома в среднем одинакова. Поэтому световая волна, излучаемая телом, характеризуется равновероятными колебаниями вектора Е. Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е называется естественным .

Свет с преимущественной ориентацией вектора Е в каких-то направлениях называется поляризованным. Плоскополяризованный - вектор Е колеблется вдоль одного направления. Элептическиполяризованный - конец вектора Е описывает эллипс. Циркулярнополяризованный - конец вектора Е описывает окружность. Частично поляризованный свет - свет с преимущественной, но не единственной ориентацией вектора Е. Получить поляризованный свет можно, пропустив естественный свет через определенные кристаллы, которые имеют такую структуру кристаллической решетки, что способны пропускать свет только в определенных направлениях. Например, после прохождения света через кристалл турмалина, свет линейно поляризован, т.е. из кристалла выходит свет, в котором колебания вектора Е происходят только в одном направлении. Такие кристаллы называются поляризаторами.

Рассмотрим следующий опыт. Направим естественный свет на кристалл турмалина (поляризатор).

При выходе свет будет линейно поляризован. Будем вращать кристалл турмалина. При каждом повороте поляризатор будет пропускать вектор Е определенного направления. Т.к. в естественном свете вектор Е в каждом направлении имеет одинаковое значение, то при повороте поляризатора каждый раз величина вектора Е, пропускаемого поляризатором, будет одинакова, а, следовательно, и интенсивность света (I ~ Е 2) не изменяется при повороте поляризатора.

Колебания вектора Е, совершающиеся в плоскости, образующей с плоскостью поляризатора угол , можно разложить на два колебания с амплитудами

. Первое колебание пройдет через поляризатор, а второе нет. Интенсивность прошедшей волны равна
, гдеI – интенсивность колебания с амплитудой Е. Следовательно, колебание, параллельное плоскости поляризатора, несет с собой долю интенсивности, равную
. В естественном свете все колебания равновероятны, поэтому доля света, прошедшего через поляризатор, будет равна среднему значению
, т.е.
. При вращении поляризатора интенсивность прошедшего света остается одной и той же, изменяется только ориентация плоскости колебаний света.

Плоскость поляризации – это плоскость, образованная вектором Е и направлением распространения. Плоскостью поляризатора называется плоскость, в которой поляризатор свободно пропускает колебания, и полностью или частично задерживает колебания, перпендикулярные к этой плоскости.

Теперь поставим еще одну пластину кристалла турмалина. Это анализатор.

Будем вращать эту пластину. На нее падает линейнополяризованный свет. Если направление, в котором анализатор пропускает свет, совпадает с направлением вектора Е в линейно поляризованном свете, то анализатор полностью пропускает линейнополяризованный свет. Если эти направления находятся под некоторым углом , то анализатор пропустит лишь составляющую вектора Е: Е=Е о со s . Т.к. интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то I = I o cos 2 -это закон Малюса . Здесь - интенсивность света вышедшего из первого поляризатора, равная половине интенсивности естественного света. Т.е. интенсивность света, прошедшего через два поляризатора
. При = 90 0 - анализатор вообще не пропустит свет: интенсивность равна нулю.

Это позволяет различить линейнополяризованный свет от естественного. Исследуемый свет надо пропустить через поляризатор и вращать последний. Если при вращении поляризатора интенсивность света не меняется, то исследуемый свет естественный, если же интенсивность изменяется от нуля до максимума, причем интенсивность изменяется по закону квадрата косинуса, то исследуемый свет линейнополяризован.

Если поляризатор не полностью задерживает колебания, перпендикулярные плоскости поляризации, то на выходе такого поляризатора колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений. Такой свет называется частично поляризованным. Его можно рассматривать как смесь естественного и плоскополяризованного. Если пропустить частично поляризованный свет через анализатор, то при вращении анализатора вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от
до
при повороте на угол, равный
.Степенью поляризации называется величина, равная
. Для плоскополяризованного света
и
. Для естественного света
=
, и
. Для эллиптически-поляризованного света понятие степени поляризации неприменимо.

Поляризация при отражении и преломлении .

Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков, то часть его отражается, а часть преломляется. Оказалось, что отраженный и преломленный лучи частично поляризованы. Причем, в отраженном луче колебания вектора Е перпендикулярны плоскости падения, а в преломленном параллельны плоскости падения. При угле падения, связанному с показателями преломления сред соотношением
, отраженный луч становится полностью поляризованным (линейно поляризованным), а преломленный - максимально поляризован, но не полностью - этозакон Брюстера . Такой угол падения называетсяуглом Брюстера .

Покажем, что при падении света на диэлектрик под углом Брюстера, угол между отраженным и преломленным лучами является прямым.

.

,. Т.к. угол падения равен углу отражения
,
, т.е. угол между отраженным и преломленным лучами равен
. Если свет падает под углом Брюстера, то преломленный свет оказывается максимально, но не полностью поляризованным. Если взять стопу из пластинок, и каждый раз запускать свет под углом Брюстера, то свет окажется полностью поляризованным.

В 1895 г. немецкий физик В. Рентген открыл особый вид электромагнитного излучения (коротковолнового) с длиной волны названный впоследствии рентгеновскими лучами. Эти лучи

вызывают свечение экрана, покрытого люминофором (см. § 135), и почернение фотоэмульсии, благодаря чему их можно использовать для фотографирования.

Рентгеновские лучи проходят через непрозрачные для обычного света тела: дерево, металл, кость, мышечную ткань и т. д. Причем более плотные вещества поглощают рентгеновские лучи сильнее, чем менее плотные. Если рентгеновские лучи проходят через объект, характеризующийся неравномерным распределением плотности вещества, то на экране (или фотопластинке), помещенном позади объекта, появляется теневое изображение, на котором распределение освещенности соответствует распределению плотности вещества в объекте. Так, например, на теневом изображении кисти руки (рис. 332) мышечная ткань дает слабую тень, кость - более сильную, а металлическое кольцо С и осколки пули дают очень резкую тень.

Благодаря таким свойствам рентгеновские лучи широко применяются в медицине и технике для исследования внутреннего строения тел, например для обнаружения изменений в организме (рентгенодиагностика) и выявления дефектов в деталях машин (рентгенодефектоскопия).

Кроме того, рентгеновские лучи используются в лечебных целях. Больные клетки и ткани организма обладают повышенной чувствительностью к рентгеновским лучам. Поэтому соответствующей дозой рентгеновского облучения можно подавлять и даже разрушать больные ткани организма (например, злокачественные опухоли), не поражая соседних здоровых тканей.

Рентгеновские лучи возникают при резкой остановке электронов, быстро движущихся в рентгеновской трубке. Современная рентгеновская трубка состоит из металлического анода А и катода К, подогреваемого током, проходящим по вольфрамовой спирали 1 (рис. 333). Эти электроды находятся в баллоне 2 с высоким вакуумом Па). Между катодом и анодом приложено напряжение достигающее 105 В.

Электроны, эмиттируемые катодом и разгоняемые электрическим полем до скоростей порядка ударяются об анод. Движение электронов представляет собой электрический ток, а

изменение скорости их движения соответствует перемене тока, что, как известно, сопровождается возникновением электромагнитных волн. Очень резкое торможение электронов, происходящее при их ударе об анод, создает коротковолновое электромагнитное излучение, называемое тормозным рентгеновским излучением. Оно имеет сплошной спектр, поскольку различные электроны тормозятся с несколько различными ускорениями и, следовательно, испускают волны различной длины.

При очень больших напряжениях наряду с тормозным излучением возникает так называемое характеристическое рентгеновское излучение, имеющее линейчатый спектр. Такое излучение создают атомы анода, возбуждаемые ударами электронов, поэтому вид линейчатого спектра зависит от химического состава вещества, из которого изготовлен анод. Более подробно характеристическое излучение рассмотрено в § 134 (в связи со строением атома).

Волновая природа рентгеновских лучей была экспериментально подтверждена в 1912 г. немецкими физиками Лауэ, Фридрихом и Книппингом, обнаружившими явление дифракции рентгеновских лучей от кристаллов. В этих экспериментах кристалл играл роль пространственной дифракционной решетки; рассеивающими центрами служили узлы (атомы или ионы) кристаллической решетки. На рис. 334 представлена фотография дифракционной картины, создаваемой рентгеновскими лучами, проходящими через кристалл бериллия. Пятна на этой фотографии соответствуют дифракционным максимумам рентгеновских волн определенных длин (остальные волны, входящие в сплошной спектр тормозного рентгеновского излучения, рассеиваются кристаллом равномерно, вызывая равномерное потемнение фотопластинки-фон).

Дифракция рентгеновских лучей имеет место как при прохождении их через кристалл, так и при отражении от него. Условие, необходимое для дифракции рентгеновских лучей, можно получить исходя из следующих соображений.

Пусть пучок параллельных рентгеновских лучей падает на кристалл под углом скольжения к системе параллельных плоскостей, проходящих через узлы (атомы) кристаллической решетки (рис. 335). Такие атомные плоскости можно рассматривать как полупрозрачные зеркала, частично, пропускающие и частично отражающие

рентгеновские лучи. Следовательно, отраженные лучи выходят из кристалла также под углом к атомным плоскостям. Будучи когерентными, эти лучи создают на фотопластинке изображение дифракционных максимумов при условии, что разность хода соседних лучей составляет целое число длин волн:

где расстояние между атомными плоскостями, Соотношение (10) называется формулой Вульфа - Брэггов. Углы измеряются на фотографии дифракционной картины (по положению дифракционных максимумов).

Если известна длина волны рентгеновского излучения, то по формуле (10) можно определять расстояния характеризующие структуру кристаллов; такой метод исследования строения тел называется рентгеноструктурным анализом.

При использовании кристалла известной структуры (с известным расстоянием формула Вульфа - Брэггов дает возможность определять длины волн, входящих в состав рентгеновского излучения. На этом основан метод определения химического состава вещества, называемый рентгеноспектральным анализом. Исследуемое вещество бомбардируют быстрыми электронами (поместив его, например, на анод разборной рентгеновской трубки), в результате чего оно испускает характеристические рентгеновские лучи, падающие на кристалл известной структуры. Сфотографировав возникающую при этом дифракционную картину, измеряют углы и рассчитывают по формуле (10) соответствующие длины волн. Полученный таким образом линейчатый спектр дает возможность судить о химическом составе излучающего вещества, поскольку каждому химическому элементу присущ вполне определенный спектр характеристического излучения (см. § 134).

Рассмотрим геометрические условия возникновения дифракционной картины, приняв следующие упрощающие предположения:

1. падающие на кристалл лучи элктронные лучи строго параллельны и монохроматичны;

2. кристаллическая решетка примитивна;

3. атомы кристалла неподвижны;

4. кристалл имеет идеальное строение;

5. поглощение электронных лучей в кристалле отсутствует.

Пусть на семейство плоскостей (hkl ), отстоящих друг от друга на расстоянии d hkl , падает пучек монохроматических электронных лучей под углом Θ (рис. 1). Лучи проникают вглубь кристалла и отражаются не только поверхностью, но и от ниже расположенных атомных плоскостей. Причем угол падения равен углу отражения. Однако, отражение возможно не под любым углом. Отраженный монохроматический луч (рефлекс) с длиной волны λ отражается пакетом данных параллельных кристаллографических плоскостей только под строго определенными углами, под другими имеет место погасание. На рис. 1 фронт падающих лучей 00", фронт отраженных лучей 00"". Из рисунка видно, что каждый следующий луч должен пройти путь на 2х больший, по сравнению с предыдущим, причем х = d Sin Θ. Так как все лучи между фронтом падения и фронтом отражения проходят разные пути и у фронта отражения они должны интерферировать, то образоваться отраженный рефлекс может лишь в случае, если результирующая амплитуда всех лучей будет отличаться от нуля. Это произойдет в том случае, если разность хода между двумя лучами, отраженными от соседних атомных плоскостей будет кратна целому числу длин волн, т.е 2х = nλ, отсюда

2d Sin Θ = nλ.

Это и есть условия (формула) Вульфа-Брэгга. Она лежит в основе изучения структуры веществ с помощью электронной дифракции – электронографии.

2.2.2 Особенности электронографии

Электронография имеет много общего с рентгенографией, однако, между ними имеются и важные различия, которые определяют области применения каждого из этих методов. Дифракция рентгеновских лучей и дифракция электронов различаются длиной волны дифрагированного излучения и его интенсивностью.

Длины волн электронных лучей гораздо меньше, чем рентгеновских лучей К-серии, обычно используемых в рентгенорафии (Cu Кα λ = 154 нм, Мо Кα λ =0,071 нм).

Другой стороны Е кин = mv 2 /2 =.

Отсюда: eU = (mv) 2 /2m mv =

Согласно уравнения де Бройля λ = h/mv

здесь λ – длина электронной волны

m – масса электрона

v – скорость электрона

е – заряд электрона

h – постоянная Планка

Таким образом получаем окончательную формулу, связывающую длину электронной волны с величиной ускоряющего напряжения:

Подставив в эту формулу численные значения физических постоянных h, e, m, получим формулу, удобную для расчета длины волны в нм, если ускоряющее напряжение задается в вольтах:

Поскольку в современных электронографах применяется ускоряющее напряжение порядка U = 60 – 100 кВ, то длины волн электронов в них лежат в пределах λ = 0,005 – 0,004 нм.

Малые длины волн обуславливают особенности картин, получаемых при дифракции электронов:

1. Уменьшение длины волны приводит к малым углам Θ, при которых возникают рефлексы. Для средних значений межплоскостных расстояний характерных для металлов и полупроводников (d ≈ 0.07 – 0.08 нм) угол скольжения оказывается всего Θ = 2,5 – 3 0 . В результате значительно упрощается формула для расчета межплоскостных расстояний.

2. Малые длины волн вызывают явление расширения линий при размерах кристаллитов всего 2 – 3 нм, в то время как в рентгенографии при 50 – 90 нм. Таким образом методом электронографии можно исследовать более мелкозернистые пленки, чем рентгенографией.

3. Интенсивность рассеянных электронов на 8 порядков больше, чем рентгеновских лучей. Различие интенсивностей дифрагированного излучения объясняется рзличным механизмом рассеяния электронных и рентгеновских лучей. Рентгеновские лучи рассеиваются только на электронных оболочках атомов, электроны рассеиваются электрическими полями электронов атома и атомных ядер. Большее расстояние электронов в веществе приводит к тому, что методом электронографии можно исследовать тончайшие слои вещества порядка 2 – 100 нм, в то время как рентгеновские лучи дают дифракционную картину при взаимодействии со слоями толщиной 10 4 – 10 5 нм. С другой стороны сильное взаимодействие электронов с веществом ограничивает толщину просвечиваемых образцов десятыми долями мкм.

Поэтому с помощью электронографии целесообразно исследовать структуру тонких пленок, различные поверхностные слои и покрытия, строение окисных пленок, процессы окисления поверхностей, процесс эпитаксиального роста пленок и т.п., то есть явления недоступные рентгеноструктурным исследованиям.

Вывод

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на кристаллическую решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке

Падающий (синий) и отражённые (красные) лучи

Как видно есть разница в путях между лучом отражённым вдоль AC" и лучом прошедшим к второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC . Разница в путях запишется как

(A B + B C ) − (A C ").

Если эта разница равна целому числу волн n то две волны придут в точку наблюдения с одинакомыми фазами испытав интерференцию. Математически можно записать:

где λ - длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что

, ,

как и следующие соотношения:

Собрав всё вместе получим известное выражение:

После упрощения получим закон Брэгга

Применение

Условие Вульфа-Брэгга позволяет определить межплоскостные расстояния d в кристалле, так как λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Условие (1) получено без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, причём ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или к тому и другому одновременно. Условие Вульфа-Брэгга является исходным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии. Условие Вульфа-Брэгга остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука. В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Вульфа-Брэгга.

Литература

  • Bragg W. L., "The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 17 , 43 (1914).
  • Физическая энциклопедия /Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Балдин, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. энциклопедия. Т.1. Аронова – Бома эффект – Длинные линии. 1988. 704 с., ил.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Формула Брэгга-Вульфа" в других словарях:

    формула Вульфа-Брэгга

    Условие Вульфа Брэгга определяет направление максимумов дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У. Л. Брэггом и Г. В. Вульфом. Имеет в … Википедия

    Вывод закона Брэгга … Википедия

    Профессор минералогии и кристаллографии в Варшавском университете; род. в 1863 г.; образование получил в Варшавском университете на естественном отделении физико математического факультета, которое окончил в 1885 г. После окончания Университета,… … Большая биографическая энциклопедия

    - (лат. diffractus буквально разломанный, переломанный) явление, которое можно рассматривать как отклонение от законов геометрической оптики при распространении волн. Первоначально понятие дифракции относилось только к огибанию волнами… … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Стекло (значения). Скифос. Цветное стекло. Восточное Средиземноморье. Первая половина I в. Эрмитаж … Википедия

    Вывод закона Брэгга Брэгговская дифракция явление сильного рассеяния волн на периодической решётке рассеивателей при определенных углах падения и длинах волн. Простейший случай Брэгговской дифракции возникает при рассеянии света на дифракционной … Википедия

    - (рентгенодифракционный анализ) один из дифракционных методов исследования структуры вещества. В основе данного метода лежит явление дифракции рентгеновских лучей на трехмерной кристаллической решётке. Явление дифракции рентгеновских лучей на… … Википедия

    Bragg reflection formula - Brego formulė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Bragg reflection formula vok. Braggsche Formel, f rus. формула Вульфа Брэгга, f pranc. formule de Bragg, f … Fizikos terminų žodynas

В этой статье приведена формула Вульфа-Брегга, изучено ее значение для современного мира. Описаны методы исследования вещества, которые стали возможны благодаря открытию дифракции электронов на твердых телах.

Наука и конфликты

О том, что разные поколения не понимают друг друга, писал еще Тургенев в романе «Отцы и дети». И правда, бывает так: живет семья сотню лет, дети уважают старших, все друг друга поддерживают, а потом раз - и все меняется. А все дело в науке. Недаром католическая церковь так противилась развитию естественного знания: любой шаг может привести к неконтролируемому изменению мира. Одно открытие меняет представление о гигиене, и вот уже старики с удивлением взирают, как их отпрыски моют перед едой руки и чистят зубы. Бабушки неодобрительно качают головой: «Зачем, жили же и без этого, и ничего, по двадцать детей рожали. А вся эта ваша чистота только во вред и от лукавого».

Одно предположение о расположении планет - и вот уже на каждом углу молодые образованные люди обсуждают спутники и метеоры, подзорные трубы и природу Млечного пути, тогда как старшее поколение недовольно: «Глупости всякие, что толку от космоса и небесных сфер, какая разница, как вращается Марс и Венера, шли бы лучше картошку выращивали, все было бы больше пользы».

Один прорыв в технологии, который стал возможен благодаря тому, что известна дифракция на пространственной решетке, - и в каждом втором кармане лежит смартфон. При этом пожилые люди ворчат: «Ничего хорошего в этих быстрых сообщениях нет, они не то, что настоящие письма». Однако, как ни парадоксально это звучит, обладатели разнообразных гаджетов воспринимают их как некую данность, чуть ли не как воздух. И мало кто задумывается о механизмах их работы и том огромном пути, который проделала человеческая мысль за какие-то двести-триста лет.

На заре двадцатого века

В конце девятнадцатого века человечество столкнулось с проблемой изученности всех открытых явлений. Считалось, что в физике уже все известно, и остается только выяснять подробности. Однако открытие Планком квантов и дискретности состояний микромира в буквальном смысле перевернуло прежние представления о строении материи.

Открытия сыпались одни за другими, исследователи выхватывали идеи друг у друга из рук. Гипотезы возникали, проверялись, обсуждались, отвергались. Один решенный вопрос порождал сотню новых, и находилось множество людей, готовых искать ответы.

Одним из поворотных моментов, которые изменили представление о мире, стало открытие двойственной природы элементарных частиц. Без него формула Вульфа-Брэгга не появилась бы. Так называемый корпускулярно-волновой дуализм объяснил, почему в одних случаях электрон ведет себя как тело, обладающее массой (то есть корпускула, частица), а в других - как бесплотная волна. Ученые долго спорили, пока не пришли к выводу - такими разными свойствами объекты микромира обладают одновременно.

В данной статье описывается закон Вульфа-Брэгга, а значит, нас интересуют волновые свойства элементарных частиц. Для специалиста эти вопросы всегда неоднозначны, ведь преодолевая порог размеров порядка нанометров, мы теряем определенность - вступает в силу принцип Гейзенберга. Однако для большинства задач хватает достаточно грубого приближения. Поэтому необходимо для начала пояснить некоторые особенности сложения и вычитания обычных волн, которые достаточно просто представить и понять.

Волны и синусы

Мало кто в детстве любил такой раздел алгебры, как тригонометрия. Синусы и косинусы, тангенсы и котангенсы обладают своей системой сложения, вычитания и других преобразований. Возможно, детям это непонятно, поэтому изучать неинтересно. И многие задавались вопросом о том, зачем вообще это все нужно, в какой части обычной жизни данные знания можно применить.

Все зависит от того, насколько любознателен человек. Кому-то хватает знаний типа: солнце светит днем, луна ночью, вода мокрая, а камень твердый. Но есть и такие, кому интересно, как устроено все, что человек видит. Для неутомимых исследователей и поясняем: наибольшую пользу от изучения волновых свойств извлекает, как ни странно, физика элементарных частиц. Например, дифракция электронов подчиняется именно этим законам.

Для начала поработайте над воображением: закройте глаза и дайте волне увлечь себя.

Представьте бесконечную синусоиду: выпуклость, ложбинка, выпуклость, ложбинка. Ничто в ней не меняется, расстояние от вершины одного бархана до другого такое же, как и везде. Наклон линии, когда она идет от максимума к минимуму, одинаков для каждого участка этой кривой. Если есть рядом две одинаковые синусоиды, то задача усложняется. Дифракция на пространственной решетке непосредственно зависит от сложения нескольких волн. Законы их взаимодействия зависят от нескольких факторов.

Первый - фаза. То, какими частями соприкасаются эти две кривые. Если максимумы их совпадают до последнего миллиметра, если углы наклона кривых идентичны - все показатели удваиваются, горбы становятся в два раза выше, а ложбины - в два раза глубже. Если наоборот - максимум одной кривой попадает на минимум другой, то волны гасят друг друга, все колебания превращаются в ноль. А если фазы не совпадают только частично - то есть максимум одной кривой приходится на подъем или понижение другой, то картина становится совсем сложной. Вообще, формула Вульфа-Брэгга содержит только угол, как станет видно позже. Однако правила взаимодействия волн помогут осознать ее вывод более полно.

Второй - амплитуда. Это высота горбов и ложбин. Если у одной кривой высота один сантиметр, а у другой - два, то складывать их надо соответственно. То есть если максимум волны высотой два сантиметра попадает строго на минимум волны с высотой один сантиметр, то они не гасят друг друга, а только уменьшается высота возмущений первой волны. Например, дифракция электронов зависит от амплитуды их колебаний, которая определяет их энергию.

Третий - частота. Это расстояние между двумя одинаковыми точками кривой, например, максимумами или минимумами. Если частоты разные, то в какой-то момент у двух кривых максимумы совпадают, соответственно, полностью складываются. Уже на следующем периоде этого не происходит, итоговый максимум становится все ниже и ниже. Затем максимум одной волны попадает строго на минимум другой, давая наименьший результат при таком наложении. Результат, как вы понимаете, будет тоже очень сложным, но периодическим. Картинка рано или поздно повторится, и снова совпадут два максимума. Таким образом, при наложении волн с разной частотой возникнет новое колебание с переменной амплитудой.

Четвертый - направление. Обычно, когда рассматривают две одинаковые волны (в нашем случае синусоиды), считается, что они автоматически параллельны друг другу. Однако в реальном мире все иначе, направление может быть любым в пределах Таким образом, складываться или вычитаться будут только волны, идущие параллельно. Если они движутся в разные стороны, взаимодействия между ними не происходит. Закон Вульфа-Брэгга стоит именно на том, что складываются только параллельные пучки.

Интерференция и дифракция

Однако электромагнитное излучение - это не совсем синусоида. Принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка среды, до которой дошел фронт волны (или возмущение), является источником вторичных сферических волн. Таким образом, в каждое мгновение распространения, скажем, света волны все время накладываются друг на друга. Это и есть интерференция.

Данное явление становится причиной того, что свет в частности и электромагнитные волны вообще способны огибать препятствия. Последний факт называется дифракцией. Если читатель не помнит это со школы, мы подскажем, что две щели в темном экране, освещенные обычным белым светом, дают сложную систему максимумов и минимумов освещенности, то есть полосок будет не две одинаковых, а много и разной интенсивности.

Если облучать полоски не светом, а бомбардировать вполне себе телесными электронами (или, допустим, альфа-частицами), то получается точно такая же картина. Электроны интерферируют и дифрагируют. Именно в этом проявляется их волновая природа. Надо отметить, что дифракция Вульфа-Брэгга (чаще всего называемая просто брэгговской) состоит в сильном рассеянии волн на периодических решетках при совпадении фазы падающей и рассеянной волны.

Твердое тело

С этим словосочетанием у каждого могут быть свои ассоциации. Однако твердое тело - вполне определенный раздел физики, который изучает структуру и свойства кристаллов, стекол и керамик. Изложенное ниже известно только благодаря тому, что когда-то ученые разработали основы рентгеноструктурного анализа.

Итак, кристалл - это такое состояние вещества, когда ядра атомов занимают строго определенное положение в пространстве относительно друг друга, а свободные электроны, как и электронные оболочки, обобщаются. Основная характеристика твердого тела - периодичность. Если читатель когда-то интересовался физикой или химией, наверняка в его голове всплывает образ поваренной соли (название минерала - галит, формула NaCl).

Два вида атомов очень тесно соприкасаются, образуя достаточно плотную структуру. Натрий и хлор перемежаются, образуя во всех трех измерениях кубическую решетку, стороны которой перпендикулярны друг другу. Таким образом, период (или элементарная ячейка) - это кубик, в котором три вершины составляют атомы одного вида, остальные три - другого. Приставляя друг к другу такие кубики, можно получить бесконечный кристалл. Все атомы, расположенные в пределах двух измерений, периодически составляют кристаллографические плоскости. То есть трехмерная, но одна из сторон, повторенная много раз (в идеальном случае - бесконечное количество раз), формирует отдельную поверхность в кристалле. Этих поверхностей очень много, и они идут параллельно друг другу.

Межплоскостное расстояние - важный показатель, который определяет, например, прочность твердого тела. Если в двух измерениях это расстояние маленькое, а в третьем - большое, то вещество легко слоится. Это характеризует, например, слюду, которая раньше заменяла людям стекло в окнах.

Кристаллы и минералы

Однако каменная соль - очень простой пример: всего два вида атомов и понятная кубическая симметрия. Раздел геологии, который называется минералогией, изучает Их особенность в том, что одна химическая формула включает 10-11 видов атомов. А уж структура у них невероятно сложна: тетраэдры, соединяясь с кубами вершинами под разными углами, образуют пористые каналы разных форм, островки, сложные шахматные или зигзагообразные соединения. Таково, например, строение невероятно красивого, достаточно редкого и чисто русского поделочного Его фиолетовые узоры настолько прекрасны, что способны вскружить голову - отсюда и название минерала. Но даже в самой запутанной структуре присутствуют параллельные друг другу кристаллографические плоскости.

А это позволяет благодаря наличию явления дифракции электронов на кристаллической решетке выявить их строение.

Структура и электроны

Чтобы адекватно описать методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов, можно представить, что мячи бросают внутрь коробки. А потом подсчитывают, сколько мячей отскочило назад и под какими углами. Затем по направлениям, в которые отскакивает большинство мячей, судят о форме коробки.

Конечно, это приблизительное представление. Но согласно этой грубой модели, направление, в котором отскакивает наибольшее количество мячей - это дифракционный максимум. Итак, электроны (или рентгеновские лучи) бомбардируют поверхность кристалла. Какие-то из них «застревают» в веществе, но другие отражаются. Причем отражаются они только от кристаллографических плоскостей. Так как плоскость не одна, а их много, то складываются только отраженные волны, параллельные друг другу (мы обсуждали это выше). Таким образом получается сигнал в где интенсивность отражения зависит от угла падения. Дифракционный максимум показывает наличие плоскости под изучаемым углом. Получившуюся картину анализируют, чтобы получить точную структуру кристалла.

Формула

Анализ производится по определенным законам. В их основе лежит формула Вульфа-Брэгга. Она выглядит так:

2d sinθ = nλ, где:

  • d - межплоскостное расстояние;
  • θ - угол скольжения (угол, дополнительный к углу отражения);
  • n - порядок дифракционного максимума (целое положительное число, т.е. 1, 2, 3…);
  • λ - длина волны падающего излучения.

Как читатель видит, даже угол берется не тот, который был получен непосредственно при исследовании, а дополнительный к нему. Стоит отдельно пояснить про величину n, которая относится к понятию «дифракционный максимум». Формула интерференции также содержит целое положительное число, которое определяет, какого порядка максимум наблюдается.

Освещенность экрана в опыте с двумя щелями, например, зависит от косинуса разности хода. Так как косинус - то после темного экрана в данном случае наблюдается не только главный максимум, но и несколько более тусклых полос по его сторонам. Живи мы в идеальном мире, который полностью поддается математическим формулам, таких полос было бы бесконечное число. Однако в реальности количество наблюдаемых светлых областей всегда ограничено, и зависит от ширины щелей, расстояния между ними и яркости источника.

Так как дифракция - непосредственное следствие волновой природы света и элементарных частиц, то есть наличия у них интерференции, то и формула Вульфа-Брэгга содержит порядок дифракционного максимума. Кстати, этот факт поначалу сильно затруднял расчеты экспериментаторов. На данный момент все преобразования, связанные с разворотами плоскостей и вычислением оптимальной структуры по дифракционным картинам, выполняют машины. Они же просчитывают, какие именно пики являются самостоятельными явлениями, а какие - вторыми или третьими порядками основных линий на спектрах.

До введения в оборот компьютеров с простым интерфейсом (относительно простым, так как программы для разнообразных расчетов - все-таки сложные инструменты) все это делалось вручную. И несмотря на относительную лаконичность, которой обладает уравнение Вульфа-Брэгга, на то, чтобы удостовериться в истинности полученных значений, уходило много времени и усилий. Ученые проверяли и перепроверяли - не затесалось ли где какого-нибудь неглавного максимума, который мог бы испортить расчеты.

Теория и практика

Замечательное открытие, совершенное одновременно Вульфом и Брэггом, дало в руки человечества незаменимый инструмент для исследования скрытых до того структур твердых тел. Однако, как известно, теория - вещь хорошая, но на практике все всегда оказывается немного иначе. Чуть выше речь шла о кристаллах. Но любая теория имеет в виду идеальный случай. То есть бесконечное бездефектное пространство, в котором законы повторения структуры не нарушаются.

Однако реальные, даже очень чистые и выращенные в лабораториях, кристаллические вещества изобилуют дефектами. Среди природных образований встретить идеальный образец - большая удача. Условие Вульфа-Брэгга (выражаемое приведенной выше формулой) в ста процентах случаев применяется к реальным кристаллам. Для них в любом случае существует такой дефект, как поверхность. И пусть читателя не смущает некоторая несуразность данного высказывания: поверхность является не только источником дефектов, но и сама дефект.

Например, энергия связей, образующихся внутри кристалла, отличается от аналогичного значения приграничных зон. Это значит, что надо вводить вероятности и своеобразные зазоры. То есть, когда экспериментаторы снимают спектр отражения электронов или рентгеновских лучей от твердого тела, они получают не просто величину угла, а угол с погрешностью. Например, θ = 25 ± 0.5 градусов. На графике это выражается в том, что дифракционный максимум (формула которого и заключается в уравнении Вульфа-Брэгга) имеет некоторую ширину, и представляет собой полосу, а не идеально тонкую линию строго на месте полученного значения.

Мифы и погрешности

Так что же получается, все, полученное учеными, неправда?! В некоторой степени. Когда вы измеряете себе температуру и обнаруживаете 37 на градуснике, это тоже не совсем точно. Температура вашего тела отличается от строгого значения. Но для вас главное, что она ненормальная, что вы заболели и пора лечиться. И вам, и вашему врачу совершенно неважно, что на самом деле градусник показал 37.029.

Так и в науке - до тех пор, пока погрешность не мешает делать однозначные выводы, она учитывается, но упор делается на основное значение. К тому же статистика показывает: пока ошибка меньше пяти процентов, ею можно пренебречь. Результаты, полученные в экспериментах, для которых соблюдается условие Вульфа-Брэгга, также имеют погрешность. Ученые, которые делают вычисления, ее, как правило, указывают. Однако для конкретного применения, другими словами, понимания того, какова структура того или иного кристалла, погрешность не очень важна (до тех пор, пока она небольшая).

Стоит отметить, что у каждого прибора, даже у школьной линейки, всегда есть погрешность. Этот показатель учитывается в измерениях, и в случае необходимости входит в общую ошибку результата.